Tema 2. Probabilidad y distribución

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# Tema 2. Probabilidad y distribución
### Gustavo A. García <a href="mailto:ggarci24@eafit.edu.co" class="email">ggarci24@eafit.edu.co</a> 
### Econometría para la Toma de Decisiones Maestría en Economía Aplicada Escuela de Finanzas, Economía y Gobierno Universidad EAFIT

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}

h1{
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Link slides en formato [html](https://gusgarciacruz.github.io/EconometriaMEA/Tema2/Tema2.html)

Link slides en formato [PDF](https://gusgarciacruz.github.io/EconometriaMEA/Tema2/Tema2.pdf)

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# En este tema

- [Motivación](#motivacion)

- [Variables aleatorias y sus distribuciones de probabilidad](#va)

- [Tipos de variables aleatorias](#tva)

- [Características de las distribuciones de probabilidad](#distribucion)

- [Medidas de asociación](#ma)

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# Lecturas

- Wooldridge, Jeffrey (2013). *Introducción a la econometría*. 5a edición, Cengage Learning. Apéndice B

- Gujarati, D. y Porter, D. (2010). *Econometría*. 5a edición, Mc Graw Hill. Apéndice A

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name: motivacion
# Motivación

El análisis de probabilidad de una variable aleatoria ayuda a encontrar soluciones a diferentes situaciones

Por ejemplo, el caso de una aerolínea que tiene que decidir cuántas reservas aceptar para un vuelo en el que hay 100 asientos disponibles. Existen diferentes situaciones que hacen el problema no trivial:

- Si hay pocas reservas, todas serán aceptadas
	
- Pero ¿qué pasa si hay muchas personas reservando, más de 100?
	
	- aceptar máximo 100. Pero si hay personas que cancelan se corre el riesgo de no llenar el avión
	- aceptar más de 100. Habrá un exceso de reservas y tendrá que compensar a los pasajeros
	

	

¿Se puede determinar la cantidad óptima de reservar que deba hacer la aerolínea?

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name: va
# Variables aleatorias y sus distribuciones de probabilidad

- Entender el concepto de variable aleatoria es muy importante en economía y en general en las ciencias sociales `$\Longrightarrow$` todo el tiempo los economistas estamos trabajando con variables aleatorias

- La variable `$X$`: el número de reservas que recibe la aerolínea, es una variable aleatoria ya que, hasta que los datos son observados, es incierto que valores tomará `$X$`

- Una variable aleatoria es aquella que toma un valor numérico que será determinado por un experimento

- Un experimento, en general, es un procedimiento que puede repetirse una cantidad infinita de veces y que tiene un conjunto bien definido de resultados

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# Variables aleatorias y sus distribuciones de probabilidad

- Por ejemplo, el número de reservas que recibe la aerolínea es una variable aleatoria y es importante ya que es crucial determinar el óptimo de reservas que debe aceptar la aerolínea

- El número de reservas que recibe la aerolínea es una variable aleatoria ya que 

 - en cada vuelo el número de reservas es incierto, no se sabe cuantas finalmente se van hacer
 
 - el número de reservas puede pensarse como un resultado de un experimento, esto es, se puede repetir una cantidad infinita de veces (cada vez que haya un vuelo) y tiene un conjunto bien definido de resultados (de cero reservas al óptimo definido por la aerolínea) 
 
- Problema de información incompleta: el hecho de que la aerolínea entienda que el número de reservas es una variable aleatoria hace que el problema de estimar el número (óptimo) de reservas no sea trivial

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# Variables aleatorias y sus distribuciones de probabilidad

¿Se puede determinar la cantidad óptima de reservas que debe aceptar la aerolínea?

- Dada cierta información, por ejemplo la probabilidad con la que en cada vuelo se aceptan un número fijo de reservas (ej. 100), puede emplearse la probabilidad básica para encontrar la solución a este caso

- En otras palabras, se puede construir la distribución de probabilidad de la variable aleatoria número de reservas con la información pasada de esta variable

- Este procedimiento permite con información ex-ante pronosticar el posible número de reservas

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# Variables aleatorias y sus distribuciones de probabilidad

```r
library(summarytools)
x <- rnorm(400,100)
x <- round(x, digits = 0)
freq(x, headings=F)
```

```

Freq % Valid % Valid Cum. % Total % Total Cum.
----------- ------ --------- -------------- --------- --------------
 97 1 0.25 0.25 0.25 0.25
 98 23 5.75 6.00 5.75 6.00
 99 92 23.00 29.00 23.00 29.00
 100 145 36.25 65.25 36.25 65.25
 101 104 26.00 91.25 26.00 91.25
 102 34 8.50 99.75 8.50 99.75
 103 1 0.25 100.00 0.25 100.00
 <NA> 0 0.00 100.00
 Total 400 100.00 100.00 100.00 100.00
```

.pull-left-50[

```r
hist(x, breaks = c(96,97,98,99,100,101,102,103), xlab="Número de reservas",
     ylab="Frecuencia", ylim=c(0,100), main="Distribución de frecuencia",col="blue")
```

<img src="Tema2_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png" width="80%" style="display: block; margin: auto;" />
]

.pull-right-50[

```r
hist(x, freq=F, breaks = c(96,97,98,99,100,101,102,103), xlab="Número de reservas",
     ylab="Probabilidad (Densidad)", main="Distribución de probabilidad",col="grey")
```

<img src="Tema2_files/figure-html/unnamed-chunk-3-1.png" width="80%" style="display: block; margin: auto;" />
]

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# Variables aleatorias y sus distribuciones de probabilidad

Otras variables aleatorias importantes

- Hogar: ingreso anual del hogar, tamaño del hogar, tasa de participación laboral del hogar

- País: número de pensionados, número de individuos bajo la línea de pobreza, precio del petróleo, precio del dólar, tasa de homicidio, tasa de desempleo

- Firma: costo de producción, insumos utilizados, número de empleados

- Otras menos importantes: cantidad de caras en 10 lanzamientos, la cantidad de veces que cae el 6 al tirar un dado, número de penaltis acertados cobrados por Messi

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name: tva
# Tipos de variables aleatorias
.small-code[

**Discretas**

- Es una variable que sólo toma una cantidad finita de valores

- Ejemplos: variable aleatoria Bernoulli (o binaria, toma valores 0 o 1); estar desempleado o no; estar enfermo o no

```r
x <- rbinom(100, 1, 0.75)
freq(x, h=F, cumul=F)
```

```

Freq % Valid % Total
----------- ------ --------- ---------
 0 23 23.00 23.00
 1 77 77.00 77.00
 <NA> 0 0.00
 Total 100 100.00 100.00
```

```r
hist(x, freq=F, xlim=c(0,1), ylim=c(0,8), xlab="Bernoulli", ylab="Probabilidad", main="", col="skyblue")
```

<img src="Tema2_files/figure-html/unnamed-chunk-4-1.png" width="50%" style="display: block; margin: auto;" />
]

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# Tipos de variables aleatorias

**Discretas**

- Para describir por completo el comportamiento de una variable aleatoria discreta es necesario determinar la probabilidad que toma cada valor de la variable

- En el ejemplo de número de reservas óptimo por la aerolínea, el problema puede analizarse en el contexto de las variables aleatorias de Bernoulli de la siguiente forma: dada una reserva realizada por una persona, tomado aleatoriamente, se define una variable aleatoria de Bernoulli como `$X=1$` si la aerolínea ha tomado la reserva y `$X=0$` si no la ha tomado

- La probabilidad de que una reserva haya sido tomada por la aerolínea puede ser cualquier numero entre cero y uno. Si llamamos a esta probabilidad `$\theta$`, se tienen las siguientes probabilidades:

`$$P(X=1) = \theta$$`
`$$P(X=0) = 1-\theta$$`

- De manera general, cualquier va aleatoria discreta queda completamente explicada cuando se determinan las probabilidades de cada valor que toma:

`$$p_{j}=P(X=x_{j}), j=1,2,...,k$$`

donde cada `$p_{j}$` está entre 0 y 1 y

`$$p_{1}+p_{2}+...+p_{k}=1$$`

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# Tipos de variables aleatorias

**Discretas**

- La función de densidad de probabilidad (fdp) de `$X$` resume la información concerniente a los valores que puede tomar `$X$` y a sus correspondientes probabilidades:

`$$f(x_{j})=p_{j}, j=1,2,...,k$$`

- Dada la fdp de cualquier variable aleatoria discreta, es fácil calcular la probabilidad de cualquier evento relacionado con esa variable aleatoria

- Por ejemplo, suponga que `$X$` es la cantidad de tiros libres anotados por Messi en dos intentos, entonces `$X$` puede tomar los valores { `$0,1,2$`}. Suponga que la fdp de `$X$` está definida por:

`$$f(0)=.17; f(1)=.50; f(2)=.33$$`

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# Tipos de variables aleatorias

**Discretas**

.pull-left-50[

```r
set.seed(123456789)
x <- rbinom(100, 2, 0.6)
freq(x, h=F, cumul=F)
```

```

Freq % Valid % Total
----------- ------ --------- ---------
 0 17 17.00 17.00
 1 50 50.00 50.00
 2 33 33.00 33.00
 <NA> 0 0.00
 Total 100 100.00 100.00
```
]

.pull-right-50[

```r
hist(x, freq=F, breaks=c(-1,0,1,2), xlab="Cantidad de tiros libres anotados por Messi", ylab="Probabilidad", main="fdp de la cantidad de tiros 
     libres marcados por Messi en dos intentos n=100", col="skyblue")
```

<img src="Tema2_files/figure-html/unnamed-chunk-6-1.png" width="90%" style="display: block; margin: auto;" />
]

- Estas tres probabilidades suman 1

- La probabilidad de que Messi anote por lo menos un tiro libre:
`$$P(X \geq 1) = P(X=1)+P(X=2) = .50 + .33 = .83$$`