La GWR fue propuesta por Brunsdon et al. (1996) y tiene como objetivo estimar los $\beta$ en cada localización $i$, usando los centróides de los poligonos de los datos utilizados. El modelo tiene la siguiente estructura:

$$y_i = \beta_{i0} + \sum_{k=1}^{p} \beta_{ik}x_{ik} + u_i$$

donde $\beta_{ip}$ es la realización local de $\beta_p$ en la localización $i$

Visualmente sería:

La función de densidad kernel determina el peso asignado a las unidades vecinas

Existen varias funciones de densidad que se pueden utilizar, las más comúnes son:

• la función ponderada Gaussiana:

$$w_{ij} = exp\left(-\frac{d_{ij}^2}{h^2}\right)$$
donde $d_{ij}$ es la distancia entre la localización $i$ y $j$, y $h$ es el ancho de banda

• la función bicuadrada $$w_{ij} = 1 - \left(\frac{d_{ij}^2}{h^2}\right)^2$$

• la función tricúbica:

$$w_{ij} = 1 - \left(\frac{d_{ij}^3}{h^3}\right)^3$$

Escoger la función de ponderación también implica escoger el ancho de banda $h$. Existen diferentes formas de hacer esto, pero resaltan dos métodos comúnmente utilizados: el método cross-validation (CV) y la minimización del críterio de información de Akaike (AIC)

• CV
  En este método se intenta encontar la $h$ que minimice la CV. La idea es minimizar la suma de los errores al cuadrado en todas las localizaciones $i$, y se llega a un ancho de banda óptimo. El CV toma la forma:

$$CV = \sum_i [y_i - \hat{y}_{\neq i}(\beta)]^2$$

• Un problema con el modelo GWR es la correlación con los coeficientes estimados, parcialmente debido a la colinealidad en las variables explicatorias de cada modelo local

• El problema de multicolinealidad surge ya que se están usando valores de las variables explicativas en cada modelo local que son muy similares ya que son cercanas en el espacio, y al utilizar un ponderador similar para las observaciones cercanas, se está intensificando la similaridad entre las variables explicativas

• La multicolinealidad de las variables explicatorias localmente ponderadas puede llevar a potencial fuerte dependencia en los coeficientes locales estimados. Esta fuerte dependencia en los coeficientes estimados hace que la interpretación de los coeficientes individuales sea, en el mejor de los casos, tenue, y en el peor, engañosa

• Otro aspecto de la multicolinealidad es que en modelos lineales las varianzas de los coeficientes se inflan. Varianzas infladas en los coeficientes de regresión asociada a la colinealidad local en el modelo GWR puede llevar a sobreestimaciones de las magnitudes del efecto de las covariables y a la inversión del signo de los coeficientes, lo que puede dar lugar a interpretaciones incorrectas de las relaciones en el modelo de regresión

• Otro problema del modelo GWR son los errores estándar asociados a las estimaciones de los coeficientes de regresión. Los cálculos del error estándar en el modelo GWR son sólo aproximados debido a la reutilización de datos para la estimación de parámetros en múltiples ubicaciones y debido al uso de los datos para estimar tanto el ancho de banda del kernel con validación cruzada como los coeficientes de regresión

• Además, como ya se ha indicado, la colinealidad local puede aumentar las varianzas de los coeficientes de regresión estimados. Este problema con los errores estándar indica que los intervalos de confianza de los coeficientes GWR estimados son sólo aproximados y no son exactamente fiables para indicar los efectos estadísticamente significativos de las covariables y la selección de modelos

• Los problemas derivados de la colinealidad pueden resolverse limitando la cantidad de variación de los coeficientes de regresión

• En el caso del modelo GWR, se han propuesto dos versiones de métodos que logran este objetivo: geographically weighted ridge regression (GWRR) y el geographically weighted lasso regression (GWL)

• Estas técnicas son basadas en las regresiones ridge y lasso, y los métodos funcionan penalizando la regresión para limitar la variación de los coeficientes. En ambos casos, se introduce una restricción en el tamaño de los coeficientes de regresión

• Los coeficientes de la regresión ridge minimizan la suma de una penalización sobre el tamaño de los coeficientes al cuadrado y la suma de los residuales al cuadrados

• Los coeficientes del lasso minimizan la suma del valor absoluto de los coeficientes y la suma de los residuales al cuadrados

• Tanto en la regresión ridge como en el lasso, es práctica común centrar la variable de respuesta, y centrar y escalar las variables explicativas para que tengan varianzas unitarias (estandarizar las variables), porque los métodos dependen de la escala

• En un modelo GWR estándar un sólo ancho de banda o bandwidth es determinado y aplicado a cada variable explicativa.

• Sin embargo, en la realidad puede suceder que las relaciones en algunos procesos espacialmente heterogéneos operen sobre escalas más grandes que en otros

• En este caso, la escala de no estacionariedad de la relación determinada por una GWR estándar puede subestimar o sobrestimar la escala de las relaciones individuales entre la variable dependiente y las explicativas

• Para abordar esta limitación del GWR estándar, un GWR multi-escala (MGWR) puede ser usado (Yang 2014; Fotheringham, Yang, and Kang 2017; Oshan et al. 2019) $\Longrightarrow$ Este modelo determina el bandwidth para cada una de las variables explicativas, permitiendo así que varíen las relaciones individuales entre $Y$ y cada $X$

• Trabajos recientes han sugerido que el MGWR debería ser el GWR por defecto (Comber et al. 2022), utilizándose un GWR estándar sólo en circunstancias específicas

En este ejercicio se van a utilizar los datos de Columbus, una ciudad en el estado de Ohio en Estados Unidos. La idea es analizar los efectos del ingreso y el valor de la vivienda sobre el nivel de crimen a nivel de barrio.

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